飼い犬の登録義務について

誰か知っている人がいたら教えてください。
飼い犬を人に譲り渡した場合、もらった人が新たに登録をしなければならないのか？
じつはうちの家内の実家で以前に飼っていた犬を近所の家にあげて、その犬が子供を噛んだみたいなんですね。
パトカーまで駆けつけて、うちの息子はおまわりさんにパトカーに乗せてもらって喜んでいたそうだけど。^^;
パトカーなんて、犯罪でもしないとなかなか乗れませんからね。
それで、犬を口約束だけで譲って登録はそのままなのだけど、そういう場合は予防接種の義務はどちらにあるのでしょうね。